1º de ESO. Material del Tema 7. Proporcionalidad, porcentajes, incrementos y disminuciones

Vamos con un tema en el que vamos a ver algunas cosas importantes con, ¡por fin!, aplicación a nuestra vida diaria (¡contestad a la encuesta de la anterior entrada!).

Y como siempre hago, empiezo enseñándoos unos preciosos apuntes de una de mis primeras maravillosas alumnas en un instituto, 💓Zapa💓. A ver si los vuestros se le acercan.

Seguiremos el siguiente índice:

1) MAGNITUDES PROPORCIONALES.

2) PORCENTAJES.

3) INCREMENTOS Y DISMINUCIONES.

Y trabajaremos con el siguiente material:

Hoja de ejercicios

Soluciones

¿Sois tontos?

De momento sólo lo estoy preguntando. Vamos a ver si me decís como en el anuncio (¡o lo contrario!):

Dos preguntas (contestad en el formulario del final):

1) Supongo que todos los sabéis: el IVA es un impuesto (un 21% para la mayoría de los productos que compramos). Por ejemplo, si algo cuesta 100 euros (sin IVA), a nosotros nos cobran 121 euros (100+21 euros de IVA). Va la pregunta: vamos al Media Markt en el día sin IVA porque queremos comprar un teléfono que el día anterior (con el 21% de IVA incluido) costaba 100 euros: ¿cuánto tenemos que pagar?

2) (Basado en hechos reales). Queremos comprar un colchón y entramos en una tienda en cuyo escaparate hemos visto el siguiente cartel:

Nos atiende un amable dependiente que nos convence para comprar un colchón que inicialmente cuesta 1000 euros, y cuando nos disponemos a pagar nos dice:

Ahora le aplicamos el descuento: un 20% y se queda en 800 euros, y ahora otro 20% de descuento (de 800, que son 160 euros, y así hacemos el 40% total) y se queda en 640 euros, ¡una ganga!

Formulario para responder

El Problema de Basilea

Os pedí que demostraseis vuestra habilidad con la calculadora haciendo esta suma:

multiplicando el resultado por 6 y, finalmente, haciendo la raíz cuadrada. El resultado es: 3'07938983... 

¿De qué va esto? A continuación tenéis una suma infinita muy famosa en la Historia de las Matemáticas, el Problema de Basilea, que debe su nombre a que se enfrentaron a él varios matemáticos que vivían en dicha ciudad suiza, entre ellos el gran Leonard Euler que, finalmente, lo resolvió:

Es decir, si en vez de hacer la suma que hemos hecho hasta 15, la hacemos "hasta el infinito", nos aparecerá π (después de multiplicar el resultado por 6 y hacer la raíz cuadrada). 

A continuación podéis ver cómo va evolucionando la suma (resalto hasta 15 y luego hasta 1000, 5000 y 13000): como veis, cada vez nos vamos acercando más al verdadero valor de π. Si se lo pedís a la calculadora, os da: 3'141592654...

Continuará...

1º de ESO. Preparando el control de operaciones con fracciones

INSTRUCCIONES DE USO

1) Antes del próximo miércoles, os sentáis tranquilos y solos en vuestra casa y hacéis este control en una hora de reloj:

Control

2) Consultáis la solución y os ponéis nota corrigiendo cada cuenta a bien o mal según el resultado final (bien, 1 punto; mal, 0 puntos; ¿y si no está simplificado, David? ¡También 0 puntos! Que os duela).

Solución

3) Me mandáis la nota como comentario en esta entrada del blog (ponedme el nombre).

4) ¡LO MÁS IMPORTANTE! Repasad la resolución y detectad los fallos. En este tipo de tareas es habitual repetir los mismos errores: por eso es importante darse cuenta de cuáles son.

Sumemos infinitos números

Ya sabéis sumar números enteros (2+3=5), decimales (2'23+3'9=6'13), y acabamos de aprender (eso espero) a sumar fracciones:

¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre! (Lo elegante es usar el mínimo común múltiplo).

¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Queridos míos, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.

Os voy a hacer una pregunta, ¿podemos sumar infinitos números? ¡Quietos! ¡Atrás, gremlins de 1º H! Dejad que me explique. Atentos:

Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:

Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:

Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:

Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea", puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!

¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)

Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:

Dicen que una imagen vale más que mil palabras:

Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png

Os toca:

Reto. (Los que contestéis en los comentarios antes del domingo 28 de enero participaréis en el sorteo de un maravilloso cuaderno).

1) Coge una calculadora.

2) Haz la siguiente suma de 15 números.

3) Multiplica el resultado por 6.

4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior. ¿Resultado?

En el futuro os comentaré qué sale si hacéis lo anterior sin parar en el 15, siguiendo hasta el infinito... ¿alguna idea? ¿algún numerillo famoso de las matemáticas?

Hasta el infinito...y más allá.

Operaciones con fracciones

No es la actividad más emocionante del mundo: vamos a tener que dedicar un esfuerzo a pillar soltura operando con fracciones. Si uno se lo toma como un juego hasta puede ser divertido (¿se nota mucho que lo estoy diciendo sin convicción?).

Os cuelgo una hoja de operaciones combinadas (ya os la enlacé en la entrada de material del tema):

Hoja de operaciones combinadas

y dos controles idénticos al que haremos dentro de poco:

Controles de operaciones combinadas

Controles de operaciones combinadas (solución)

Cuatro momentos de shock en la Historia de la Humanidad

Hay varios momentos en la Historia de la Humanidad en los que la ciencia ha llegado a descubrimientos que han roto las creencias tenidas hasta ese momento por inmutables. Os voy a hablar de cuatro de ellos:

1) Los números irracionales: os lo he contado en la anterior entrada. Los griegos del siglo V antes de Cristo pensaban que todos los números eran fracciones (que podían expresarse como "trocitos" del 1). Aquí os intento explicar el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de 2 (no es complicado pero sí muy lioso para vosotros que todavía no estáis acostumbrados a razonamientos abstractos; os invito que cojáis lápiz y papel, os concentréis e intentéis entenderlo y reproducirlo).

2) Las matemáticas no son infalibles: uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Kurt Gödel (todo un personaje; os recomiendo que leáis su biografía en la Wikipedia) demostró que hay resultados en matemáticas que no son ni ciertos ni falsos (ojo, no estoy diciendo que no se sepa si son ciertos o falsos -de esos hay muchos-, digo que no son ni lo uno ni lo otro). Esto fue una cura de humildad para la reina de las ciencias, que siempre había "presumido" de ser un edificio de una completa lógica (y lo lógico es que algo sea cierto o falso).

3) La dilatación del tiempo: Einstein descubrió en sus dos teorías de la Relatividad que el tiempo transcurre a distinta "velocidad" para personas si estos se mueven entre sí o si están situados (o no) cerca de objetos con mucha masa. La película Interstellar juega con esa idea: un padre hace un viaje espacial en el que pasa un ratito en un planeta cercano a un agujero negro con mucha masa.

Cuando "poco tiempo después" (para él), vuelve del viaje, se produce el emotivo reencuentro:

Pero no hace falta ir a las cercanías de un agujero negro: nuestros dispositivos GPS funcionan porque tienen en cuenta este hecho cuando reciben las señales de los satélites.

GPS y Teoría de la relatividad

4) Los electrones son unos cachondos: uno de mis vídeos favoritos.

¿Qué cara se os ha quedado?

Los números irracionales (conclusión)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1). Parecía algo obvio (estas han sido vuestras respuestas a la encuesta):

Traducido a nuestras matemáticas actuales equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. Para algunos, sabemos hacerlo:

Pero, ¿es así para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción?

Como hemos dicho, los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil demostrarlo aunque es un razonamiento demasiado abstracto a estas alturas de vuestra vida. Mañana os subo un vídeo para los más curiosos.

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso, que se ganó la inmortalidad.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" de matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y eso ya son matemáticas un poco más serias... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

¿A que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?

1º de ESO. Examen del Tema 5. Números decimales.

Sacad un ratito este finde:

Examen

Solución

Los números irracionales (1ª parte)

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os explico las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente la longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a las dos primeras preguntas:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):

Pregunta 3: ¿Podemos formar un palito que mida 0’16666666...? (Probad a hacer divisiones con la calculadora hasta que os salga este número).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En los tres casos si es que sí (y ya os digo yo que es que sí), ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Aquí llega la encuesta:

Haz clic para votar en la encuesta

Los que contestéis a las tres preguntas (en los comentarios del blog) y participéis en la siguiente encuesta (para identificaros os va a pedir una dirección de correo electrónico), participaréis en el sorteo de un libro. El plazo termina el próximo domingo 14 de enero.

Recordatorio: ¿cómo enviar un comentario?

1º de ESO. Material del Tema 6. Números racionales (fracciones)

En este tema os contaré un momento "shock" en la Historia de la Humanidad, en el que ocurrió algo que hizo saltar por los aires un hecho científico -en este caso, matemático-, que se consideraba una verdad inmutable (la leyenda cuenta que se produjo un asesinato). Lo intentaré por aquí, en el blog, mientras en clase nos dedicamos a:

1) Definición de número racional.

2) Operaciones con fracciones.

3) Problemas: las fracciones como manera de medir una parte de un total.

Utilizaremos el siguiente material:

Las fracciones como un número

Operaciones combinadas

Hoja de problemas

Soluciones de los problemas

¡Hasta mañana!

Lo sé, lo sé, es duro. En este momento los únicos felices son vuestros padres:

Los Reyes de Oriente

Aprovechando que hoy es el Día de Reyes, vamos a felicitar a tres alumnos de La Laboral que, el pasado curso, destacaron por su trabajo y su talento. Son nuestros verdaderos Reyes de Oriente:

Y no fueron los únicos: