La conjetura de Golbach

Os voy a hablar de uno de los problemas no resueltos más famosos de las matemáticas, con el que se llevan peleando (siendo "derrotados") grandes genios de los últimos ¡280 años! Parte de su atractivo reside en que todos podemos entenderlo.

A mediados del siglo XVIII Golbach conjeturó:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

No está demostrado. No se sabe si es cierto o falso (por eso se llama conjetura). Vamos a probar:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

...

1000000=17+999983 (sí, 999983 es primo; me lo guardo para el próximo examen ;)

...

...

Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la conjetura es cierta por lo menos hasta 10¹⁸ (como ya sabéis, eso es un uno seguido de 18 ceros, 1000000000000000000).

Lo que más me interesa que pilléis, la moraleja, es que si consiguiésemos encontrar (de casualidad) un número par de forma que no se pudiese poner como suma de dos primos, automáticamente demostraríamos que la conjetura de Golbach no es cierta, pero que sea verdad para “muchos números pares” (para todos con los que hemos probado), no sirve como una demostración de que sí sea cierta, ¡porque los números pares son infinitos! No nos vale con probar y probar con más y más números porque nunca terminaremos de probarlo con todos, tenemos que encontrar alguna otra manera de demostrarlo. Y hasta ahora nadie lo ha conseguido (los matemáticos están "casi" seguros de que es cierta).

Reto: rellenadme uno de los huecos que he dejado arriba: demostrad que los números 18, 20, 22, 24, 26 y 28 se pueden poner como suma de dos números primos (quiero todas las posibilidades cuando haya más de una). Entre los que lo hagáis sortearemos la magnífica taza de la imagen (me la trajo alguien de Texas pero ya ni recuerdo quién). El plazo termina el domingo 5 de noviembre a las 23:59.

Bueno, y si alguno se viene arriba y encuentra una demostración de la Conjetura de Golbach, que me lo diga y llamamos a la televisión. Además se va a llevar una pasta con la Medalla Fields o el Abel, los premios "Nobel" de las mates de los que os hablaré otro día.

Con todo mi cariño para vuestros padres

 Lo siento, no me he podido resistir. Decidles que cuentan con toda mi solidaridad:

Criptografía

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco):

HOLACOMOESTAS

le escribiríamos:

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (vamos, que se les llama bárbaros con razón), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano.

Reto: he utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado:

ÑAYTXMRTYMÑTAYBGPOPEEPDWACGPCGTTPDME

¿Qué dice el mensaje original? (En honor a Aarón, es una frase de Bob Esponja).

Pista: he trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual a la suma de las cuatro cifras de los dos números primos en los que se descompone 1517. 

Comentarios finales:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 1517 en sus factores primos os va a costar un par de minutos con la calculadora y una lista de números primos (que os sirva como pista, ¿hasta cuál deberíais comprobar?), 

pero hacer lo mismo con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡o eso se cree!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto (tenéis hasta el próximo martes 31 de octubre a las 23:59 para enviar vuestras respuestas) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes. Entre los ganadores sortearemos esta pochola lamparita con forma de reno (me la dio un amigo; espero que no lo conozcáis y se entere de que voy por ahí librándome de sus regalos).

¡Masacre!

He estado bromeando con el tema del "examen masacre" por dos motivos:

1) Para quitarle importancia al resultado de los exámenes. Es normal que, especialmente en matemáticas, un examen te pueda salir mal (a mí me pasó muchas veces -y os aseguro que se me daban bien-). No pasa nada, se ven los fallos, se repasa y se mejora.

2) Porque en los últimos años este examen me había salido bastante bien (bueno, a mis alumnos) y estaba convencido de que vosotros ibais a hacerlo fantásticamente.

Pues no. Ha salido flojísimo (en general). Quiero que le deis un repaso.

Control de potencias y raíces

Mi consejo es que le dediquéis veinte minutos y sea trabajo individual: sólo así será útil para vuestro progreso. El jueves lo recojo en clase.

Un reto durísimo

Os propongo un reto (como juego, un pasatiempo, sólo para aquellos a los que os gusten mucho las mates y queráis exprimir vuestro cerebro a niveles a los que, seguramente, todavía no está preparado).

Como profesor de matemáticas odio profundamente que en el instituto os enseñemos como reglitas, fórmulas, lo que en realidad son ideas que, cuando las entiendes, te hacen disfrutar (y decir, ¡naturalmente, claro, es lógico!).

Ahí va el reto:

1) Intentar entender la siguiente demostración del criterio de divisibilidad del 9.

Demostración del criterio del 9

2) Una vez hecho lo anterior, escribir una demostración de los criterios del 3 y el 11.

Si quienes lo intentéis queréis que os eche una mano, decídmelo. ¡Suerte!

Cero elevado a cero es...

¡Bravo Daniela!

Este reto no era fácil para vosotros porque hay que pillar un razonamiento de lógica que tiene su miga.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no tiene sentido.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora.

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento (bachillerato de ciencias) y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. En ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

1º de ESO. Material del Tema 3. Divisibilidad

Para mi gusto, uno de los temas más bonitos del curso (y diría que de todas las mates que se ven en el instituto). Espero que a vosotros también os lo parezca. Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición y tareas básicas.

2) Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA).

3) Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD).

4) Alguna cosita extra.

Utilizaremos el siguiente material:

Propiedades básicas de la divisibilidad

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Modelo de examen (solución)

1º de ESO. Examen del Tema 2. Potencias y raíces

El consejo de siempre:

- haced el examen en casa, con calma, aprovechando para darle un último -de momento- repaso a lo que hemos visto, intentando aprender de los fallos que hayáis tenido;

- DESPUÉS, consultad la solución (¡no vayáis directos a ella, que eso no sirve para nada!).

La próxima semana vemos si ha habido (¡espero que no!) masacre.

Examen

Solución

Por cierto, ¡una compañera vuestra va a morir! ¡Prohibido el Tipex a partir de ahora!

Una demostración matemática

Esta entrada es demasiado abstracta para vosotros y os va a costar entenderla (¡intentadlo!), pero me hace ilusión hablaros del tema y, además, estos esfuerzos siempre son beneficiosos para vuestros cerebros (la capacidad de abstracción es una cualidad que sólo tenemos los humanos y las matemáticas son una maravillosa herramienta para, poco a poco, desarrollarla y fortalecerla).

Los matemáticos profesionales se enfrentan a problemas, a veces relacionados con el mundo real, con aplicaciones en física, ingeniería, economía, etc. y otras veces más abstractos, de matemáticas "puras", en principio sin aplicaciones inmediatas (aunque muchas veces en la historia ha resultado que problemas que se pensaban "inútiles", han tenido importantes aplicaciones prácticas; pronto os hablaré de uno de ellos).

Y cuando un matemático resuelve un problema, para comunicárselo al resto del mundo, tiene que escribir una demostración en lenguaje matemático, para que sus colegas comprueben que, efectivamente, ha resuelto el problema.

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados ya conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Y no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

Reto. En realidad el 13 no pinta nada. Lo he escogido porque es mi número preferido pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0?

Pista: uno de los pasos que hemos dado en la demostración es "ilegal" si en vez de 13 ponemos un 0. ¿Qué paso? ¿Por qué?

Entre los que respondáis correctamente antes del próximo domingo a las 23:59 en los comentarios de la entrada, sortearemos un cubo de Rubik.

1º de ESO. Preparando el examen del Tema 2. Potencias y raíces

Os cuelgo exámenes de otros años con la solución.

EXAMEN 1: en el ejercicio 5, apartado a), se pide utilizar el algoritmo para calcular la raíz cuadrada (nosotros no lo hemos visto; me dije: "una y no más").

Examen 1

Solución

EXAMEN 2: es el famoso "examen de la masacre". Ya me diréis si es para tanto.

Examen 2

Solución

EXÁMENES 3 y 4: los que tienen un formato más parecido al que os pondré a vosotros.

Examen 3

Solución

Examen 4

Solución

EXÁMENES 5 y 6: los más recientes, pero tienen la pega de que ese año seguí otro orden, di este tema más tarde y por eso hay algunas preguntas con materia que no hemos visto (números negativos). Pasad en ambos casos de los ejercicios 4 y 8.

Examen 5

Solución

Examen 6

Solución

La tecla #Ran de la calculadora

Mañana viernes sortearemos las dos calculadoras entre las participantes de los retos. Aprovecho para contaros un poco de matemáticas.

Se dice que estamos ante una situación aleatoria cuando:

1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.

2) Conocemos cuáles son las opciones.

3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se llama probabilidad).

¿Un ejemplo? Tenemos que sortear las dos calculadoras. Por simplificar vamos a pensar sólo en el sorteo de la primera de ellas.:

1) No sabemos exactamente quién se la va a llevar.

2) Sabemos que la ganará Naya, Carla, Salma, Ángela, Daniela, Carolina.

3) Como Naya, Ángela, Daniela y Carla han participado en dos retos, tendrán el doble de probabilidad:

Probabilidad(gane Naya)= P(gane Ángela) = P(gane Daniela) = P(gane Carla) =0'2 (cada una de ellas tiene un 20% de posibilidades de ganar la primera calculadora).

Probabilidad(gane Carolina) = P(gane Salma) = 0'1 (cada una de ellas tiene un 10% de posibilidades de ganar la primera calculadora).

(Fijaos que las probabilidades suman 1 o, lo que es lo mismo, que los porcentajes suman el 100%).

¿Cómo vamos a hacer el sorteo? Podríamos meter papelitos en una bolsa y pedir la colaboración de una "mano inocente", pero vamos a aprovechar la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Así:

- si sale un número entre el 0'000 y el 0'199 (ambos incluidos), ganará Naya,

- si sale un número entre el 0'200 y el 0'399 (ambos incluidos), ganará Ángela,

- si sale un número entre el 0'400 y el 0'599 (ambos incluidos), ganará Daniela,

- si sale un número entre el 0'600 y el 0'799 (ambos incluidos), ganará Carla,

- si sale un número entre el 0'800 y el 0'899 (ambos incluidos), ganará Carolina,

- si sale un número entre el 0'900 y el 0'999 (ambos incluidos), ganará Sara.

Luego, sortearemos con el mismo procedimiento la segunda calculadora.

Un detalle importante: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos tirando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!