¡Feliz Navidad!

 ¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2024!

Y os será más próspero cuantas más matemáticas

repaséis en estas fiestas.

Haciendo un poco de trampa con el calendario, mañana celebramos el nacimiento del hombre-Dios de la Ciencia: el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano (que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época) nació:

Isaac Newton

¿Qué es eso del calendario Juliano? (Esto ya lo sabéis los que habéis escuchado el programa de radio).

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:

• 29'5 x 12 meses = 354 días

• 29'5 x 13 meses = 383'5 días

Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2024 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Sería un lío (e imaginaros para los agricultores).

¿Por qué la Semana Santa es un lío?

La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:

• Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.

• 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.

Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4 (por ejemplo nuestro próximo 2024), exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No del todo, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años aproximadamente hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

(P.D.) Con nuestro calendario Gregoriano, Newton nació el 4 de enero de 1643.

Scary Christmath

TODOS los que habéis participado hoy en la actividad radiofónica habéis estado fantásticos, pero dejadme que felicite especialmente a Ángela, Daniela, Iker, Lina, Nerea y Sara. ¡Fabulosas! ¡Gracias!

Aquí tenéis el maravilloso corte:

Para más fotos y los programas completos haced clic en el siguiente enlace:

Blog de Almazuela de La Laboral

Mis regalos navideños

No uno, ni dos, sino ¡tres regalos! ¿Qué se dice, chicos?

1) Aquí tenéis el examen de mejora/recuperación que hemos hecho hoy:

Examen

2) A la vuelta haremos el examen del Tema 5: Números decimales. Tendrá dos partes, una de operaciones y otra de problemas (en la que podréis usar calculadora). Os pongo ejemplos de exámenes de esas dos partes para que practiquéis (otros años hice dos exámenes distintos):

Ejemplo de examen de operaciones

Solución del examen de operaciones

Ejemplo de examen de problemas

Solución del examen de problemas

A vosotros os pondré un examen mixto que será parecido al siguiente (hacedlo: lo corregiremos el miércoles 10 de enero).

Ejemplo de examen de números decimales

3) Os he subido a Classroom el trabajo que tenéis que hacer esta 2ª evaluación.

1º de ESO. Examen del Tema 4. Números enteros

Fallos debidos a los números negativos vais a cometer muchos en los próximos años, pero es importante que no tengáis inseguridad. Dadle un repasito en casa, por favor (y DESPUÉS, miráis la solución):

Examen

Solución

1º de ESO. Preparando el examen del Tema 4. Números enteros

Lo corregiremos en clase el próximo miércoles:

Control de números enteros II

El olimpo de los números

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler (no es broma: el año pasado, con la crisis de los 50 -preguntad en vuestras familias qué es eso-, estuve a punto de hacerme ese tatuaje; y ya veremos cómo va la crisis de los 51).

¡Qué preciosidad!

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 + 0.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 x 1.

p De éste os voy a hablar mucho en el futuro. Os cuento dónde apareció por primera vez:

Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

Hasta aparece en la Biblia:

Diámetro = 10; Longitud = 30 (y pico)

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios. No sé si vais a pillar la idea pero Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:

i Os lo presenté hace poco.

1º de ESO. Material del Tema 6. Números decimales

Este tema va a tener dos partes:

1) Operaciones con números decimales: esencialmente un repaso a cosas básicas que visteis en Primaria.

2) Resolución de problemas: resolveremos problemas variados en los que nos aparecerán números decimales. Aquí utilizaremos la calculadora.

Os cuelgo los ejercicios que iremos resolviendo en clase:

Operaciones I

Operaciones_I_solucion

Operaciones II

Operaciones_II_solucion

Hoja de problemas

Entrenador de monos

Hay una frase que me dedicáis de tiempo en tiempo: "David, ¿puedo hacerlo de esta otra forma? Es que así lo entiendo mejor que de la forma que nos dices tú".

Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.

Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender al aplicar una regla, al seguir las instrucciones de una receta?

En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.

Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?

Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?

Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (creo que este año todavía no la he dicho): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:

1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más inteligentes.

2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo! Menudo crack el chimpancé, seguro que se llama Gauss.

1º de ESO. Control de números enteros

Esto es para vosotros, en absoluta soledad (ni padres, ni madres, ni profesores particulares).

Control de números enteros

El próximo día lo corregiremos en clase entre todos.

El Príncipe de las Matemáticas

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser conocido como el Príncipe de las matemáticas. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto. Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 136 números naturales. La solución me la entregáis por escrito antes del próximo jueves 30 de noviembre (incluido). Todos los que respondáis correctamente entraréis en el sorteo de una calculadora.

Nota. Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

Los números imaginarios

Esta semana vamos a ver en clase que no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale:

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (el Príncipe de las Matemáticas; pronto os hablaré de él) quien dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

1º de ESO. Examen global de la 1ª evaluación

A ver si sois capaces de hacer los que no os han salido (¡ese seisssss!).

Examen

Solución

1º de ESO. Preparando el examen global de la 1ª evaluación

Mi consejo es que repaséis los tres exámenes que hemos hecho porque el global contendrá ejercicios similares.

Os enlazo algunos exámenes de otros años (que incluyen el Tema 4 que esta vez no va a entrar). Mi idea es preparar algo parecido pero con operaciones en las que no aparezcan números negativos.

Ejemplo_1 (hasta pregunta 5)	Solución
Ejemplo_2 (hasta pregunta 6)	Solución

Ejemplo_3 (hasta pregunta 6)	Solución

1º de ESO. Examen del Tema 3. Divisibilidad

Creo que a estas alturas ya no hace falta que os diga lo que tenéis que hacer.

Examen

Solución

1º de ESO. Material del Tema 4. Números enteros

Dejadme que os cuente dos historietas personales (como hacemos los viejos):

1) Recuerdo perfectamente cuando me explicaron en el colegio los números enteros (me parecieron muy fáciles) y lo que nos dijo el profesor (Don Félix, una maravilla -sí, entonces ni profe ni leches: ¿cómo os suena Don David?): "al ser humano nos costó muchos siglos entender estos números". Es curioso, pero hasta el siglo XV los matemáticos no empezaron a trabajar con ellos más o menos como lo hacemos ahora y todavía entonces se les llamaba "números absurdos".

2) ¿Os he dicho que me parecieron muy fáciles, verdad? La primera vez que di clase en un instituto tenía de compañero a un novato como yo (al que también le habían parecido fáciles los números enteros en el cole), y recuerdo que antes de empezar el tema (los dos dábamos 1º de ESO) hablamos en el departamento de lo que íbamos a hacer: "esto es una chorrada, lo contamos en una hora y a otra cosa". "Vale". Pasaba por allí otro compañero con más experiencia: "¿estáis locos? Hay que dedicarle mucho tiempo, para ellos es un lío, se van a equivocar en esto, en aquello, en esto otro y en esto otro aquello". Lo clavó. Efectivamente, es muy fácil, pero os va a parecer muy lioso.

Poco a poco, ¡vamos a por ello! Seguiremos este índice:

1) Definición.

2) Operaciones.

3) Potencias.

Y utilizaremos esta:

Hoja de ejercicios de números enteros

1º de ESO. Preparando el examen del Tema 3. Divisibilidad

¡Ojo! Otros años expliqué en clase un criterio de divisibilidad de 11 distinto y es el que va a aparecer en todas las soluciones que os cuelgo a continuación. Da el mismo resultado pero el razonamiento es diferente.

Os hago una sugerencia para este fin de semana (vamos, que es una orden):

1) Dadle un buen repaso a lo que hemos visto en este tema de divisibilidad (vuestros magníficos apuntes son la mejor herramienta).

2) Después, en una hora de reloj, haced el siguiente modelo de examen (parecido al que os pondré):

Modelo de examen de divisibilidad

3) Al acabar, consultad la solución y poneos nota (¡corregid a lo bestia, a bien o mal!), a la vez que intentáis aprender en aquello que no os haya salido o en lo que os hayáis equivocado.

Solución del examen

4) La próxima semana me decís cómo ha ido la cosa e intentamos resolver todas las dudas que os queden. Pero para que tengamos éxito es muy importante vuestro esfuerzo individual previo.

Aquí tenéis más exámenes que puse en cursos anteriores (ya veis que son todos parecidísimos; en los dos últimos la solución está en vídeo):

Ejemplo_1	Solución
Ejemplo_2	Solución
Ejemplo_3	Solución

Ejemplo_4	Solución
Ejemplo_5	Solución

Bob Esponja

Lo primero, ¡enhorabuena a Daniela, Naya y Ángelaaaaaa! (¡Hay que ver, el teclado!). Mañana sortearemos con un dado quién se lleva el premio.

Con una calculadora, aprovechando la pista (la raíz entera de 1517 es 38) y buscando una lista de números primos, comprobamos hasta el 37:

y llegamos a que:

1517=37x41

de manera que la suma de las cifras vale 3+7+4+1=15.

Así, el mensaje codificado está escrito trasladando el alfabeto 15 lugares a la derecha, es decir:

y ya sólo nos queda hacer la descodificación, una tarea pesada de esas en las que los ordenadores son los mejores amigos del hombre:

En el siguiente enlace tenéis un descodificador online:

https://es.planetcalc.com/1434/

y en este otro, un programita para codificar y descodificar mensajes. Si queréis probarlo descargadlo en vuestro ordenador (no funciona en línea). Creo que no debería dar problemas por estar hecho con una versión antigua de Excel.

Codificador/descodificador de César

La conjetura de Golbach

Os voy a hablar de uno de los problemas no resueltos más famosos de las matemáticas, con el que se llevan peleando (siendo "derrotados") grandes genios de los últimos ¡280 años! Parte de su atractivo reside en que todos podemos entenderlo.

A mediados del siglo XVIII Golbach conjeturó:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

No está demostrado. No se sabe si es cierto o falso (por eso se llama conjetura). Vamos a probar:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

...

1000000=17+999983 (sí, 999983 es primo; me lo guardo para el próximo examen ;)

...

...

Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la conjetura es cierta por lo menos hasta 10¹⁸ (como ya sabéis, eso es un uno seguido de 18 ceros, 1000000000000000000).

Lo que más me interesa que pilléis, la moraleja, es que si consiguiésemos encontrar (de casualidad) un número par de forma que no se pudiese poner como suma de dos primos, automáticamente demostraríamos que la conjetura de Golbach no es cierta, pero que sea verdad para “muchos números pares” (para todos con los que hemos probado), no sirve como una demostración de que sí sea cierta, ¡porque los números pares son infinitos! No nos vale con probar y probar con más y más números porque nunca terminaremos de probarlo con todos, tenemos que encontrar alguna otra manera de demostrarlo. Y hasta ahora nadie lo ha conseguido (los matemáticos están "casi" seguros de que es cierta).

Reto: rellenadme uno de los huecos que he dejado arriba: demostrad que los números 18, 20, 22, 24, 26 y 28 se pueden poner como suma de dos números primos (quiero todas las posibilidades cuando haya más de una). Entre los que lo hagáis sortearemos la magnífica taza de la imagen (me la trajo alguien de Texas pero ya ni recuerdo quién). El plazo termina el domingo 5 de noviembre a las 23:59.

Bueno, y si alguno se viene arriba y encuentra una demostración de la Conjetura de Golbach, que me lo diga y llamamos a la televisión. Además se va a llevar una pasta con la Medalla Fields o el Abel, los premios "Nobel" de las mates de los que os hablaré otro día.

Con todo mi cariño para vuestros padres

 Lo siento, no me he podido resistir. Decidles que cuentan con toda mi solidaridad:

Criptografía

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco):

HOLACOMOESTAS

le escribiríamos:

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (vamos, que se les llama bárbaros con razón), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano.

Reto: he utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado:

ÑAYTXMRTYMÑTAYBGPOPEEPDWACGPCGTTPDME

¿Qué dice el mensaje original? (En honor a Aarón, es una frase de Bob Esponja).

Pista: he trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual a la suma de las cuatro cifras de los dos números primos en los que se descompone 1517. 

Comentarios finales:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 1517 en sus factores primos os va a costar un par de minutos con la calculadora y una lista de números primos (que os sirva como pista, ¿hasta cuál deberíais comprobar?), 

pero hacer lo mismo con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡o eso se cree!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto (tenéis hasta el próximo martes 31 de octubre a las 23:59 para enviar vuestras respuestas) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes. Entre los ganadores sortearemos esta pochola lamparita con forma de reno (me la dio un amigo; espero que no lo conozcáis y se entere de que voy por ahí librándome de sus regalos).

¡Masacre!

He estado bromeando con el tema del "examen masacre" por dos motivos:

1) Para quitarle importancia al resultado de los exámenes. Es normal que, especialmente en matemáticas, un examen te pueda salir mal (a mí me pasó muchas veces -y os aseguro que se me daban bien-). No pasa nada, se ven los fallos, se repasa y se mejora.

2) Porque en los últimos años este examen me había salido bastante bien (bueno, a mis alumnos) y estaba convencido de que vosotros ibais a hacerlo fantásticamente.

Pues no. Ha salido flojísimo (en general). Quiero que le deis un repaso.

Control de potencias y raíces

Mi consejo es que le dediquéis veinte minutos y sea trabajo individual: sólo así será útil para vuestro progreso. El jueves lo recojo en clase.

Un reto durísimo

Os propongo un reto (como juego, un pasatiempo, sólo para aquellos a los que os gusten mucho las mates y queráis exprimir vuestro cerebro a niveles a los que, seguramente, todavía no está preparado).

Como profesor de matemáticas odio profundamente que en el instituto os enseñemos como reglitas, fórmulas, lo que en realidad son ideas que, cuando las entiendes, te hacen disfrutar (y decir, ¡naturalmente, claro, es lógico!).

Ahí va el reto:

1) Intentar entender la siguiente demostración del criterio de divisibilidad del 9.

Demostración del criterio del 9

2) Una vez hecho lo anterior, escribir una demostración de los criterios del 3 y el 11.

Si quienes lo intentéis queréis que os eche una mano, decídmelo. ¡Suerte!

Cero elevado a cero es...

¡Bravo Daniela!

Este reto no era fácil para vosotros porque hay que pillar un razonamiento de lógica que tiene su miga.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no tiene sentido.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora.

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento (bachillerato de ciencias) y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. En ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

1º de ESO. Material del Tema 3. Divisibilidad

Para mi gusto, uno de los temas más bonitos del curso (y diría que de todas las mates que se ven en el instituto). Espero que a vosotros también os lo parezca. Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición y tareas básicas.

2) Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA).

3) Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD).

4) Alguna cosita extra.

Utilizaremos el siguiente material:

Propiedades básicas de la divisibilidad

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Modelo de examen (solución)

1º de ESO. Examen del Tema 2. Potencias y raíces

El consejo de siempre:

- haced el examen en casa, con calma, aprovechando para darle un último -de momento- repaso a lo que hemos visto, intentando aprender de los fallos que hayáis tenido;

- DESPUÉS, consultad la solución (¡no vayáis directos a ella, que eso no sirve para nada!).

La próxima semana vemos si ha habido (¡espero que no!) masacre.

Examen

Solución

Por cierto, ¡una compañera vuestra va a morir! ¡Prohibido el Tipex a partir de ahora!

Una demostración matemática

Esta entrada es demasiado abstracta para vosotros y os va a costar entenderla (¡intentadlo!), pero me hace ilusión hablaros del tema y, además, estos esfuerzos siempre son beneficiosos para vuestros cerebros (la capacidad de abstracción es una cualidad que sólo tenemos los humanos y las matemáticas son una maravillosa herramienta para, poco a poco, desarrollarla y fortalecerla).

Los matemáticos profesionales se enfrentan a problemas, a veces relacionados con el mundo real, con aplicaciones en física, ingeniería, economía, etc. y otras veces más abstractos, de matemáticas "puras", en principio sin aplicaciones inmediatas (aunque muchas veces en la historia ha resultado que problemas que se pensaban "inútiles", han tenido importantes aplicaciones prácticas; pronto os hablaré de uno de ellos).

Y cuando un matemático resuelve un problema, para comunicárselo al resto del mundo, tiene que escribir una demostración en lenguaje matemático, para que sus colegas comprueben que, efectivamente, ha resuelto el problema.

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados ya conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Y no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

Reto. En realidad el 13 no pinta nada. Lo he escogido porque es mi número preferido pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0?

Pista: uno de los pasos que hemos dado en la demostración es "ilegal" si en vez de 13 ponemos un 0. ¿Qué paso? ¿Por qué?

Entre los que respondáis correctamente antes del próximo domingo a las 23:59 en los comentarios de la entrada, sortearemos un cubo de Rubik.

1º de ESO. Preparando el examen del Tema 2. Potencias y raíces

Os cuelgo exámenes de otros años con la solución.

EXAMEN 1: en el ejercicio 5, apartado a), se pide utilizar el algoritmo para calcular la raíz cuadrada (nosotros no lo hemos visto; me dije: "una y no más").

Examen 1

Solución

EXAMEN 2: es el famoso "examen de la masacre". Ya me diréis si es para tanto.

Examen 2

Solución

EXÁMENES 3 y 4: los que tienen un formato más parecido al que os pondré a vosotros.

Examen 3

Solución

Examen 4

Solución

EXÁMENES 5 y 6: los más recientes, pero tienen la pega de que ese año seguí otro orden, di este tema más tarde y por eso hay algunas preguntas con materia que no hemos visto (números negativos). Pasad en ambos casos de los ejercicios 4 y 8.

Examen 5

Solución

Examen 6

Solución

La tecla #Ran de la calculadora

Mañana viernes sortearemos las dos calculadoras entre las participantes de los retos. Aprovecho para contaros un poco de matemáticas.

Se dice que estamos ante una situación aleatoria cuando:

1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.

2) Conocemos cuáles son las opciones.

3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se llama probabilidad).

¿Un ejemplo? Tenemos que sortear las dos calculadoras. Por simplificar vamos a pensar sólo en el sorteo de la primera de ellas.:

1) No sabemos exactamente quién se la va a llevar.

2) Sabemos que la ganará Naya, Carla, Salma, Ángela, Daniela, Carolina.

3) Como Naya, Ángela, Daniela y Carla han participado en dos retos, tendrán el doble de probabilidad:

Probabilidad(gane Naya)= P(gane Ángela) = P(gane Daniela) = P(gane Carla) =0'2 (cada una de ellas tiene un 20% de posibilidades de ganar la primera calculadora).

Probabilidad(gane Carolina) = P(gane Salma) = 0'1 (cada una de ellas tiene un 10% de posibilidades de ganar la primera calculadora).

(Fijaos que las probabilidades suman 1 o, lo que es lo mismo, que los porcentajes suman el 100%).

¿Cómo vamos a hacer el sorteo? Podríamos meter papelitos en una bolsa y pedir la colaboración de una "mano inocente", pero vamos a aprovechar la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Así:

- si sale un número entre el 0'000 y el 0'199 (ambos incluidos), ganará Naya,

- si sale un número entre el 0'200 y el 0'399 (ambos incluidos), ganará Ángela,

- si sale un número entre el 0'400 y el 0'599 (ambos incluidos), ganará Daniela,

- si sale un número entre el 0'600 y el 0'799 (ambos incluidos), ganará Carla,

- si sale un número entre el 0'800 y el 0'899 (ambos incluidos), ganará Carolina,

- si sale un número entre el 0'900 y el 0'999 (ambos incluidos), ganará Sara.

Luego, sortearemos con el mismo procedimiento la segunda calculadora.

Un detalle importante: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos tirando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!

Soluciones a los retos

La próxima semana sortearemos en un recreo las dos calculadoras entre los participantes. Van las soluciones:

RETO DEL REDONDEO

Para encontrar la solución al reto que os propuse, decidí ayudarme de Mathematica, el programa que utilizan los matemáticos para hacer cálculos difíciles. And the winner is:

¿¿¿Cómooooooo??? Voy a intentar explicároslo.

Si seguimos la regla habitual, esa que dice:

cuando la parte decimal es menor que 0’5 se redondea al entero inferior, y cuando es mayor o IGUAL a 0’5 se redondea al superior,

el resultado debería ser:

Redondear[1’5]=2
Redondear[2’5]=3

Claro, pero es injusto: ¿por qué SIEMPRE hacia arriba en vez de hacia abajo? Teniendo en cuenta que estamos justo en el medio, ¿no sería mejor redondear algunas veces hacia arriba y otras hacia abajo? ¿Cómo podríamos hacerlo?

Una manera es utilizar lo que se llama redondeo gaussiano, que consiste en:

cuando la parte decimal es 0’5 se redondea al entero PAR más próximo.

Con esta otra regla (que es la que utiliza el programa Mathematica) nos quedaría:

Redondear[1’5]=2
Redondear[2’5]=2

De hecho, esta forma de redondear se utiliza sobre todo en transacciones económicas, para evitar que alguien pueda aprovecharse aplicando el redondeo tradicional.

La enseñanza que quiero que saquéis es que a veces hay distintos procedimientos matemáticos que pueden aplicarse a una misma situación del mundo real, y que es importante saber elegir cuál puede resultar más apropiado.

RETO DE EGIPCIOS Y ROMANOS

Siguiendo el orden histórico, primero los egipcios:

Pues a dibujar. 19765979 en números egipcios es:

El sistema romano también tiene símbolos que representan distintas cantidades (en este caso letras), pero es más sofisticado: la posición importa. 19765979 en números romanos es:

Espero que os haya quedado clara una cosa: ¡menos mal que no tenemos que estudiar matemáticas con números egipcios o romanos!

1º de ESO. Examen del Tema 1. Números naturales

 Lo voy a repetir hasta la extenuación:

1) Los exámenes son una herramienta de estudio: el profesor os marca en ellos lo que quiere que entendáis y sepáis hacer. Dedicarle un rato de esfuerzo individual en casa, a ser posible la misma tarde que lo habéis hecho en clase, es una de las mejores herramientas que tenéis para aprender matemáticas y os va a cundir más que muchas horas de estudio en otro momento.

2) Mi consejo:

- descargaos el examen,

- hacedlo, con calma, teniendo los apuntes a mano, centrándoos sobre todo en lo que no os haya salido esta mañana en clase,

- mirad la solución (la mayoría serán en vídeo; esta vez la he hecho "en papel" y la activaré mañana por la mañana),

- preguntadme en clase cualquier duda que os haya quedado. Pero insisto, es muy importante el trabajo y esfuerzo individual, en solitario (si es el caso, ¡mandad a vuestros padres a dar un paseo! Está bien si os ayudan, pero primero que os dejen un rato a vosotros).

Ahí los tenéis. La semana que viene vemos cómo os ha salido:

Examen

Solución

1º de ESO. Material del Tema 2. Potencias y raíces cuadradas

Me dijisteis que queríais la verdad y os la voy a dar: ahí está el resultado del que para mí siempre será el "examen masacre" (recién llegados del cole, segundo examen del curso y va y pasa esto). Ya os contaré en clase la historia completa.

Pero tranquilos que desde entonces la cosa ha ido mucho mejor y ya debería decir que últimamente es "un examen exitoso".

¿Qué tenemos que hacer para que ocurra esto último? Trabajar con ganas y a diario. Os cuento el índice que vamos a seguir:

1) Definición. Propiedades básicas de las potencias.

2) Potencias de 10.

3) Raíces cuadradas.

4) Operaciones combinadas.

5) Problemas.

Nuestro objetivo es saber resolver tareas como las de la siguiente hoja:

Hoja de potencias y raíces cuadradas

Por cierto, ¿queréis saber qué paso al día siguiente de que les diese las notas del examen masacre? Que entré a clase y me encontré con esto (pobrecitos míos, ¡qué acojonados tenían que estar!):

Arbolitos

 Queridos míos, ¿os zumban los oídos? Porque me acabo de acordar de vosotros.

1º de ESO. Preparando el examen del Tema 1. Números naturales

La idea de esta primera prueba es que yo pueda valorar cómo han ido estas primeras clases del curso. Os quiero contentos y con ganas.

Va a incluir ejercicios de las tareas que hemos hecho en clase. En concreto:

1) Ejercicio con cuatro operaciones (4x0'5=2 puntos) en las que lo importante es respetar el orden de prioridad.

2) Un ejercicio para jugar con el algoritmo de la división (lo que vosotros llamáis "la prueba"; 2x0'5=1 punto).

3) Un ejercicio con cuatro redondeos (4x0'25=1 punto).

4) Varios problemas (por supuesto, con corderos, vivos y muertos). En total 6 puntos.

5) Un extra (1 punto) que consistirá en contar distintas posibilidades combinadas.

Os enlazo ejemplos de otros años:

Ejemplo 1	Solución
Ejemplo 2	Solución

Ejemplo 3	Solución
Ejemplo 4	Solución

El primer matemático de la historia

 

En la imagen estáis viendo el hueso de Lebombo, un fémur de baduino que, según la hipótesis más aceptada, alguna “mujer de las cavernas” utilizó hace más de 40000 años para hacer unas marcas, veintinueve, y medir su ciclo menstrual; otra hipótesis es que estaba calculando el tiempo entre dos lunas llenas. Es la primera prueba que se ha encontrado de la presencia de los números en la Historia de la Humanidad.

A lo largo de los milenios el ser humano fue empleando otros sistemas de numeración. Vamos a ver algunos y, en honor a la “primera matemática de la historia”, representaremos con ellos la duración del ciclo menstrual:

Sistema de numeración cavernícola: una marca por cada día:

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Sistema egipcio: como el anterior, pero con la sutileza de agrupar las potencias de diez.

¡Para los egipcios un millón venía a ser como infinito!

Así, nuestro número quedaría:

aunque la posición de los símbolos es irrelevante y también podría escribirse, entre muchas otras opciones:

Sistema romano: un sistema en el que algunas letras indican cantidad,

pero donde la posición sí que importa:

Y escribiríamos:

 XXIX 

Nota: como indican en la imagen anterior, cuando los romanos querían escribir números muy grandes, ponían líneas sobre las letras: una indica multiplicado por mil, dos por un millón... seguro que os estáis preguntando cómo escribían un billón y un trillón (en realidad los romanos no necesitaban para nada números tan grandes... e infinito ni se lo imaginaban). ¡Ejemplos por favor!

Cada línea son tres ceros adicionales.

Sistema decimal: originario de la India y traído a Europa por los árabes. Es el que utilizamos en la actualidad y que, como hemos visto en clase, se basa en la descomposición polinómica en potencias de 10... vamos, lo que viene a ser:

29 = 2.10+9

Reto. Vamos a convencernos de que hemos tenido mucha suerte al haber nacido en una época en la que se utiliza un sistema de numeración muy “cómodo”, y que los profesores y estudiantes de matemáticas del pasado lo tenían mucho más difícil que nosotros. ¿Sabríais escribir el número 19765979 utilizando los sistemas egipcio y romano? (por supuesto, es muy fácil con el sistema cavernícola... pero ese mejor lo dejamos).

Nota: tenéis de plazo hasta la vuelta de San Mateo. Dibujad/escribid las dos respuestas en un papel y me lo entregáis en clase.