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13 mayo, 2024

Mi primer día como profesor

Una explicación previa.

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una canica de un centímetro de radio.

El matemático, el crack, el Dios absoluto, no es que sepa calcularlo, es que es capaz de hacer una demostración que lleva a la fórmula para calcular el volumen de cualquier esfera de radio R (se cuenta en bachillerato; ¿a que los símbolos son bonitos?):

 

El físico propondría hacerlo con un experimento. Echamos agua en una probeta en la que posteriormente sumergimos la canica: entonces el volumen de la canica es exactamente lo que ha subido el nivel del agua de la probeta:


¿Qué haría el ingeniero? "Aprovecharse" del (genial) trabajo del matemático, aproximar Pi por 3 (¿para qué nos vamos a complicar la vida con decimales?) y limitarse a hacer la cuenta (con una calculadora que para eso están). Y diría que el volumen de la canica es:



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La primera vez en mi vida que me disponía a dar una clase (los alumnos eran futuros ingenieros) se me ocurrió empezar "haciéndome el gracioso", contando un chiste que a mí me había hecho reírme a carcajadas. Aunque en el chiste el matemático y el físico también son ridiculizados, la vacilada más fuerte es para el ingeniero. ¿Cuál es la idea? Es habitual burlarse de los ingenieros porque aplican las matemáticas haciendo aproximaciones a lo bestia, o sin preocuparse por comprobar que se cumplen las condiciones que permiten aplicar una determinada fórmula (naturalmente es una exageración... aunque hay algo de verdad).

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Entré en clase todo serio (ellos también lo estaban porque para la mayoría era su primer instante en la universidad) y sin dar siquiera los buenos días dibujé en la pizarra algo parecido a esto para crear hype:

Creo que me ha salido bastante mejor que entonces

Me di la vuelta y conté el chiste (añado ahora algún comentario explicativo entre paréntesis):

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una vaca.

El matemático dice: bah, trivial, basta con hacer una integral. (Lo que teóricamente es cierto, y es fácil de hacer, como hemos hecho arriba, para una esfera, pero es inútil en el mundo real para calcular el volumen de una vaca).

El físico dice: bah, fácil, metemos la vaca en una probeta con agua y lo que sube el nivel es el volumen de la vaca. (Más que probeta tendría que ser en una piscina. Ayyy, los físicos y sus experimentos, menuda cornada les iba a dar la vaca si intentaran meterla en una piscina).


Y va el ingeniero y dice: está tirado. Suponemos que la vaca es esférica y aplicamos la fórmula: el volumen es cuatro tercios de Pi por el radio al cubo.

¿Vaca esférica? ¿Radio de una vaca?

De hecho, este chiste se conoce como "el de la vaca esférica".

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Los alumnos me miraron todos muy serios... y ese fue el final de mi carrera como profesor-humorista. Creo que he tenido algunas pesadillas relacionadas con dicho momento. ¡Nunca más!

11 marzo, 2024

14 de marzo: Día de Pi

Ya sabéis que los ingleses van de raritos: conducen por la izquierda, no escriben como pronuncian, miden en unidades extrañas... y dicen antes el mes que el día (en realidad eso lo hacen los yanquis). El 14 de marzo, para nosotros 14-3, es para ellos 3-14, ¡el Día de Pi! Siguiéndoles la corriente marzo es considerado el mes de las matemáticas.

Para celebrarlo, algunas de vuestras compañeras van a participar en un programa de radio el mismo jueves durante el recreo. Por supuesto, LA ASISTENCIA ES OBLIGATORIAEntre otras cosas nos hablarán de una característica curiosa de Pi: se cree que en sus cifras decimales está codificado cualquier libro. Os cuento la idea:

En castellano tenemos 27 letras y podemos codificarlas asignándoles un número:


Así, cualquier palabra, cualquier libro, cualquier conversación, esto que estoy escribiendo ahora mismo,... se puede codificar en forma de número (una palabra será un número pequeño, una frase ya se irá haciendo grande, un libro será un número enorme). Vamos a jugar al Busca tu nombre en Pi:

1) Codifica numéricamente tu nombre con la tabla anterior. Por ejemplo:

DAVID = 412394

FEDERICO = 6545199316

2) En la siguiente web puedes buscar números incluidos en los primeros dos mil millones de dígitos de Pi.


¡David sí está! 😃
¡Federico no está! 😔

En el siguiente vídeo Eduardo nos habla sobre este asunto:

11 febrero, 2024

¡Feliz día a mis niñas!

La Historia de la Humanidad ha estado marcada por un machismo absoluto. Las mujeres han tenido prohibido estudiar hasta prácticamente ayer. Afortunadamente las cosas han ido mejorando en los últimos tiempos para beneficio de todos, que podemos aprovecharnos del talento de una mitad de la población que había permanecido desperdiciado.

Milagrosamente, gracias a su rebeldía, algunas dejaron su huella en las Matemáticas. Aquí tenéis a las pioneras. Merecen nuestra absoluta admiración... ¡y que sigamos el camino!

¡Feliz día de la mujer y la niña en la ciencia!

06 febrero, 2024

La gloria para un matemático

La Medalla Fields


¿Con qué sueña un matemático (aparte de con daros clase a vosotros)? ¿Cómo se gana la inmortalidad? Esencialmente siendo el primero "en cazar una gran presa", en resolver alguno de los grandes problemas de las Matemáticas.

¿Cuáles son esos problemas? En el Congreso de París del año 1900 David Hilbert, el matemático más destacado de la época, propuso su famosa lista con los 23 problemas que se consideraron los más importantes del siglo XX.


En el año 2000, la Unión Matemática Internacional, que aglutina las Academias de Matemáticas de aquellos países que tienen Academia de Matemáticas, hizo una "repetición de la jugada" creando la:


y el  Clay Mathematics Institute (una organización fundada por un millonario aficionado a las matemáticas) ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguno de los:


Aquí les tenéis que mandar la solución:

05 febrero, 2024

Las Matemáticas como profesión

En la antigüedad toda la ciencia (matemáticas, física, biología...) entraba dentro de la consideración de Filosofía (por ejemplo, todos los grandes matemáticos griegos eran filósofos). Con el paso del tiempo se produjo la inevitable especialización y en la actualidad podríamos decir que no existen las matemáticas como una sola ciencia sino como un conjunto de muchas: el álgebra, el análisis, la geometría, la topología, la teoría de números,... y eso es seguir siendo muy general: la mayoría de los matemáticos son especialistas en campos muy determinados, y sólo los muy buenos tienen capacidad para trabajar en varios a la vez.

¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción, no la regla.

Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:

- lo envían a una revista especializada;
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo;
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:

Su artículo tiene ideas nuevas e interesantes, lo malo es que 
las nuevas no son interesantes y las interesantes no son nuevas.

- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.

¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:

04 febrero, 2024

Los más grandes

¿Quiénes son los más grandes matemáticos de la Historia? Voy a reducirlo mucho (son los que están pero no están muchos de los que son):


Arquímedes (s. III a. de C.): unos de los mayores genios de la Antigüedad. Algunos de sus trabajos anticiparon ideas del cálculo infinitesimal que se desarrollaría dos milenios más tarde. Murió asesinado por un soldado romano en el sitio de Siracusa pese a que había órdenes de capturarlo vivo.

Newton (s. XVII): el Dios absoluto de la Ciencia. Su "Philosophiæ naturalis principia mathematica" es la obra científica más importante de la Historia: establece los cimientos de la Física y revoluciona las Matemáticas con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal (otro gran matemático, Leibniz, lo descubrió de forma independiente en la misma época y la polémica fue de órdago).


Euler (s. XVIII): quedarse ciego no le impidió ser el matemático más prolífico de la historia. Trabajó en multitud de campos siendo pionero en muchos de ellos.

Gauss (s. XIX): conocido como el "Príncipe de las Matemáticas" fue posiblemente el último gran matemático capaz de dominar todos los campos: geometría, álgebra, topología, estadística...

¿Y un "poco" más modernos? ¿En los últimos tiempos? Vamos a dejarlo también en cuatro:


Andrew Wiles: demostró en 1993 el Último Teorema de Fermat, que había resistido más de tres siglos a los mejores matemáticos del mundo.

Terence Tao: un ex-niño prodigio ya en la cuarentena. Especialista en Teoría de números, resuelve como si nada problemas inaccesibles para el resto de los mortales. Si hacéis clic en la imagen podéis visitar su blog (el segundo mejor blog de matemáticas del mundo 😂).


Grigori Perelman: muy famoso, por haber demostrado la Conjetura de Poincaré... y por ser un "bicho raro" que vive apartado y renunció a varios premios (y a sus correspondientes millones de dólares).

Maryam Mirzajani: espero que no necesite presentación en este blog. Primera mujer en ganar la Medalla Fields (el "premio Nobel" de las Matemáticas).


¿Y alguno de nuestra tierra? Desgraciadamente España no ha destacado en la historia de la Humanidad por el talento de sus científicos. Entre las honrosas excepciones se encuentra un paisano nuestro, el logroñés:

Julio Rey Pastor

30 enero, 2024

¿Sois tontos?

De momento sólo lo estoy preguntando. Vamos a ver si me decís como en el anuncio (¡o lo contrario!):


Dos preguntas (contestad en el formulario del final):

1) Supongo que todos los sabéis: el IVA es un impuesto (un 21% para la mayoría de los productos que compramos). Por ejemplo, si algo cuesta 100 euros (sin IVA), a nosotros nos cobran 121 euros (100+21 euros de IVA). Va la pregunta: vamos al Media Markt en el día sin IVA porque queremos comprar un teléfono que el día anterior (con el 21% de IVA incluido) costaba 100 euros: ¿cuánto tenemos que pagar?

2) (Basado en hechos reales). Queremos comprar un colchón y entramos en una tienda en cuyo escaparate hemos visto el siguiente cartel:


Nos atiende un amable dependiente que nos convence para comprar un colchón que inicialmente cuesta 1000 euros, y cuando nos disponemos a pagar nos dice:

Ahora le aplicamos el descuento: un 20% y se queda en 800 euros, y ahora otro 20% de descuento (de 800, que son 160 euros, y así hacemos el 40% total) y se queda en 640 euros, ¡una ganga!

15 enero, 2024

Cuatro momentos de shock en la Historia de la Humanidad

Hay varios momentos en la Historia de la Humanidad en los que la ciencia ha llegado a descubrimientos que han roto las creencias tenidas hasta ese momento por inmutables. Os voy a hablar de cuatro de ellos:

1) Los números irracionales: os lo he contado en la anterior entrada. Los griegos del siglo V antes de Cristo pensaban que todos los números eran fracciones (que podían expresarse como "trocitos" del 1). Aquí os intento explicar el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de 2 (no es complicado pero sí muy lioso para vosotros que todavía no estáis acostumbrados a razonamientos abstractos; os invito que cojáis lápiz y papel, os concentréis e intentéis entenderlo y reproducirlo).

2) Las matemáticas no son infalibles: uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Kurt Gödel (todo un personaje; os recomiendo que leáis su biografía en la Wikipedia) demostró que hay resultados en matemáticas que no son ni ciertos ni falsos (ojo, no estoy diciendo que no se sepa si son ciertos o falsos -de esos hay muchos-, digo que no son ni lo uno ni lo otro). Esto fue una cura de humildad para la reina de las ciencias, que siempre había "presumido" de ser un edificio de una completa lógica (y lo lógico es que algo sea cierto o falso).

3) La dilatación del tiempo: Einstein descubrió en sus dos teorías de la Relatividad que el tiempo transcurre a distinta "velocidad" para personas si estos se mueven entre sí o si están situados (o no) cerca de objetos con mucha masa. La película Interstellar juega con esa idea: un padre hace un viaje espacial en el que pasa un ratito en un planeta cercano a un agujero negro con mucha masa.

Cuando "poco tiempo después" (para él), vuelve del viaje, se produce el emotivo reencuentro:

Pero no hace falta ir a las cercanías de un agujero negro: nuestros dispositivos GPS funcionan porque tienen en cuenta este hecho cuando reciben las señales de los satélites.

GPS y Teoría de la relatividad

4) Los electrones son unos cachondos: uno de mis vídeos favoritos.

¿Qué cara se os ha quedado?

14 enero, 2024

Los números irracionales (conclusión)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1). Parecía algo obvio (estas han sido vuestras respuestas a la encuesta):

Traducido a nuestras matemáticas actuales equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. Para algunos, sabemos hacerlo:


Pero, ¿es así para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción?

Como hemos dicho, los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil demostrarlo aunque es un razonamiento demasiado abstracto a estas alturas de vuestra vida. Mañana os subo un vídeo para los más curiosos.

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso, que se ganó la inmortalidad.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)


¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" de matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y eso ya son matemáticas un poco más serias... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

¿A que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?

24 diciembre, 2023

¡Feliz Navidad!

 ¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2024!

Y os será más próspero cuantas más matemáticas
repaséis en estas fiestas.

Haciendo un poco de trampa con el calendario, mañana celebramos el nacimiento del hombre-Dios de la Ciencia: el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano (que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época) nació:

Isaac Newton


¿Qué es eso del calendario Juliano? (Esto ya lo sabéis los que habéis escuchado el programa de radio).

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:
  • 29'5 x 12 meses = 354 días
  • 29'5 x 13 meses = 383'5 días
Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2024 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Sería un lío (e imaginaros para los agricultores).


La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:
  • Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.
  • 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.
Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4 (por ejemplo nuestro próximo 2024), exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No del todo, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años aproximadamente hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

(P.D.) Con nuestro calendario Gregoriano, Newton nació el 4 de enero de 1643.

01 diciembre, 2023

El olimpo de los números

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler (no es broma: el año pasado, con la crisis de los 50 -preguntad en vuestras familias qué es eso-, estuve a punto de hacerme ese tatuaje; y ya veremos cómo va la crisis de los 51).


¡Qué preciosidad!

Adoremos a las divinidades:

El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 + 0.

El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 x 1.

p De éste os voy a hablar mucho en el futuro. Os cuento dónde apareció por primera vez:

Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

Hasta aparece en la Biblia:

Diámetro = 10; Longitud = 30 (y pico)
e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios. No sé si vais a pillar la idea pero Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:


21 noviembre, 2023

El Príncipe de las Matemáticas

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser conocido como el Príncipe de las matemáticas. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:



 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto. Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 136 números naturales. La solución me la entregáis por escrito antes del próximo jueves 30 de noviembre (incluido). Todos los que respondáis correctamente entraréis en el sorteo de una calculadora.


Nota. 
Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

20 noviembre, 2023

Los números imaginarios

Esta semana vamos a ver en clase que no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale:


nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:


En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo):


Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:


A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:


Nota. En realidad:


Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (el Príncipe de las Matemáticas; pronto os hablaré de él) quien dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

13 septiembre, 2023

El primer matemático de la historia

 

En la imagen estáis viendo el hueso de Lebombo, un fémur de baduino que, según la hipótesis más aceptada, alguna “mujer de las cavernas” utilizó hace más de 40000 años para hacer unas marcas, veintinueve, y medir su ciclo menstrual; otra hipótesis es que estaba calculando el tiempo entre dos lunas llenas. Es la primera prueba que se ha encontrado de la presencia de los números en la Historia de la Humanidad.

A lo largo de los milenios el ser humano fue empleando otros sistemas de numeración. Vamos a ver algunos y, en honor a la “primera matemática de la historia”, representaremos con ellos la duración del ciclo menstrual:

Sistema de numeración cavernícola: una marca por cada día:

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Sistema egipcio: como el anterior, pero con la sutileza de agrupar las potencias de diez.

¡Para los egipcios un millón venía a ser como infinito!

Así, nuestro número quedaría:
aunque la posición de los símbolos es irrelevante y también podría escribirse, entre muchas otras opciones:

Sistema romano: un sistema en el que algunas letras indican cantidad,
pero donde la posición sí que importa:
Y escribiríamos:
 XXIX 

Nota: como indican en la imagen anterior, cuando los romanos querían escribir números muy grandes, ponían líneas sobre las letras: una indica multiplicado por mil, dos por un millón... seguro que os estáis preguntando cómo escribían un billón y un trillón (en realidad los romanos no necesitaban para nada números tan grandes... e infinito ni se lo imaginaban). ¡Ejemplos por favor!

Cada línea son tres ceros adicionales.

Sistema decimal: originario de la India y traído a Europa por los árabes. Es el que utilizamos en la actualidad y que, como hemos visto en clase, se basa en la descomposición polinómica en potencias de 10... vamos, lo que viene a ser:
29 = 2.10+9

Reto. Vamos a convencernos de que hemos tenido mucha suerte al haber nacido en una época en la que se utiliza un sistema de numeración muy “cómodo”, y que los profesores y estudiantes de matemáticas del pasado lo tenían mucho más difícil que nosotros. ¿Sabríais escribir el número 19765979 utilizando los sistemas egipcio y romano? (por supuesto, es muy fácil con el sistema cavernícola... pero ese mejor lo dejamos).

Nota: tenéis de plazo hasta la vuelta de San Mateo. Dibujad/escribid las dos respuestas en un papel y me lo entregáis en clase.