1º de ESO. Material del Tema 6. Números decimales

Este tema va a tener dos partes:

1) Operaciones con números decimales: esencialmente un repaso a cosas básicas que visteis en Primaria.

2) Resolución de problemas: resolveremos problemas variados en los que nos aparecerán números decimales. Aquí utilizaremos la calculadora.

Os cuelgo los ejercicios que iremos resolviendo en clase:

Operaciones I

Operaciones_I_solucion

Operaciones II

Operaciones_II_solucion

Hoja de problemas

Entrenador de monos

Hay una frase que me dedicáis de tiempo en tiempo: "David, ¿puedo hacerlo de esta otra forma? Es que así lo entiendo mejor que de la forma que nos dices tú".

Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.

Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender al aplicar una regla, al seguir las instrucciones de una receta?

En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.

Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?

Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?

Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (creo que este año todavía no la he dicho): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:

1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más inteligentes.

2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo! Menudo crack el chimpancé, seguro que se llama Gauss.

1º de ESO. Control de números enteros

Esto es para vosotros, en absoluta soledad (ni padres, ni madres, ni profesores particulares).

Control de números enteros

El próximo día lo corregiremos en clase entre todos.

El Príncipe de las Matemáticas

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser conocido como el Príncipe de las matemáticas. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto. Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 136 números naturales. La solución me la entregáis por escrito antes del próximo jueves 30 de noviembre (incluido). Todos los que respondáis correctamente entraréis en el sorteo de una calculadora.

Nota. Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

Los números imaginarios

Esta semana vamos a ver en clase que no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale:

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (el Príncipe de las Matemáticas; pronto os hablaré de él) quien dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

1º de ESO. Examen global de la 1ª evaluación

A ver si sois capaces de hacer los que no os han salido (¡ese seisssss!).

Examen

Solución

1º de ESO. Preparando el examen global de la 1ª evaluación

Mi consejo es que repaséis los tres exámenes que hemos hecho porque el global contendrá ejercicios similares.

Os enlazo algunos exámenes de otros años (que incluyen el Tema 4 que esta vez no va a entrar). Mi idea es preparar algo parecido pero con operaciones en las que no aparezcan números negativos.

Ejemplo_1 (hasta pregunta 5)	Solución
Ejemplo_2 (hasta pregunta 6)	Solución

Ejemplo_3 (hasta pregunta 6)	Solución

1º de ESO. Examen del Tema 3. Divisibilidad

Creo que a estas alturas ya no hace falta que os diga lo que tenéis que hacer.

Examen

Solución

1º de ESO. Material del Tema 4. Números enteros

Dejadme que os cuente dos historietas personales (como hacemos los viejos):

1) Recuerdo perfectamente cuando me explicaron en el colegio los números enteros (me parecieron muy fáciles) y lo que nos dijo el profesor (Don Félix, una maravilla -sí, entonces ni profe ni leches: ¿cómo os suena Don David?): "al ser humano nos costó muchos siglos entender estos números". Es curioso, pero hasta el siglo XV los matemáticos no empezaron a trabajar con ellos más o menos como lo hacemos ahora y todavía entonces se les llamaba "números absurdos".

2) ¿Os he dicho que me parecieron muy fáciles, verdad? La primera vez que di clase en un instituto tenía de compañero a un novato como yo (al que también le habían parecido fáciles los números enteros en el cole), y recuerdo que antes de empezar el tema (los dos dábamos 1º de ESO) hablamos en el departamento de lo que íbamos a hacer: "esto es una chorrada, lo contamos en una hora y a otra cosa". "Vale". Pasaba por allí otro compañero con más experiencia: "¿estáis locos? Hay que dedicarle mucho tiempo, para ellos es un lío, se van a equivocar en esto, en aquello, en esto otro y en esto otro aquello". Lo clavó. Efectivamente, es muy fácil, pero os va a parecer muy lioso.

Poco a poco, ¡vamos a por ello! Seguiremos este índice:

1) Definición.

2) Operaciones.

3) Potencias.

Y utilizaremos esta:

Hoja de ejercicios de números enteros

1º de ESO. Preparando el examen del Tema 3. Divisibilidad

¡Ojo! Otros años expliqué en clase un criterio de divisibilidad de 11 distinto y es el que va a aparecer en todas las soluciones que os cuelgo a continuación. Da el mismo resultado pero el razonamiento es diferente.

Os hago una sugerencia para este fin de semana (vamos, que es una orden):

1) Dadle un buen repaso a lo que hemos visto en este tema de divisibilidad (vuestros magníficos apuntes son la mejor herramienta).

2) Después, en una hora de reloj, haced el siguiente modelo de examen (parecido al que os pondré):

Modelo de examen de divisibilidad

3) Al acabar, consultad la solución y poneos nota (¡corregid a lo bestia, a bien o mal!), a la vez que intentáis aprender en aquello que no os haya salido o en lo que os hayáis equivocado.

Solución del examen

4) La próxima semana me decís cómo ha ido la cosa e intentamos resolver todas las dudas que os queden. Pero para que tengamos éxito es muy importante vuestro esfuerzo individual previo.

Aquí tenéis más exámenes que puse en cursos anteriores (ya veis que son todos parecidísimos; en los dos últimos la solución está en vídeo):

Ejemplo_1	Solución
Ejemplo_2	Solución
Ejemplo_3	Solución

Ejemplo_4	Solución
Ejemplo_5	Solución

Bob Esponja

Lo primero, ¡enhorabuena a Daniela, Naya y Ángelaaaaaa! (¡Hay que ver, el teclado!). Mañana sortearemos con un dado quién se lleva el premio.

Con una calculadora, aprovechando la pista (la raíz entera de 1517 es 38) y buscando una lista de números primos, comprobamos hasta el 37:

y llegamos a que:

1517=37x41

de manera que la suma de las cifras vale 3+7+4+1=15.

Así, el mensaje codificado está escrito trasladando el alfabeto 15 lugares a la derecha, es decir:

y ya sólo nos queda hacer la descodificación, una tarea pesada de esas en las que los ordenadores son los mejores amigos del hombre:

En el siguiente enlace tenéis un descodificador online:

https://es.planetcalc.com/1434/

y en este otro, un programita para codificar y descodificar mensajes. Si queréis probarlo descargadlo en vuestro ordenador (no funciona en línea). Creo que no debería dar problemas por estar hecho con una versión antigua de Excel.

Codificador/descodificador de César