La conjetura de Golbach

Os voy a hablar de uno de los problemas no resueltos más famosos de las matemáticas, con el que se llevan peleando (siendo "derrotados") grandes genios de los últimos ¡280 años! Parte de su atractivo reside en que todos podemos entenderlo.

A mediados del siglo XVIII Golbach conjeturó:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

No está demostrado. No se sabe si es cierto o falso (por eso se llama conjetura). Vamos a probar:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

...

1000000=17+999983 (sí, 999983 es primo; me lo guardo para el próximo examen ;)

...

...

Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la conjetura es cierta por lo menos hasta 10¹⁸ (como ya sabéis, eso es un uno seguido de 18 ceros, 1000000000000000000).

Lo que más me interesa que pilléis, la moraleja, es que si consiguiésemos encontrar (de casualidad) un número par de forma que no se pudiese poner como suma de dos primos, automáticamente demostraríamos que la conjetura de Golbach no es cierta, pero que sea verdad para “muchos números pares” (para todos con los que hemos probado), no sirve como una demostración de que sí sea cierta, ¡porque los números pares son infinitos! No nos vale con probar y probar con más y más números porque nunca terminaremos de probarlo con todos, tenemos que encontrar alguna otra manera de demostrarlo. Y hasta ahora nadie lo ha conseguido (los matemáticos están "casi" seguros de que es cierta).

Reto: rellenadme uno de los huecos que he dejado arriba: demostrad que los números 18, 20, 22, 24, 26 y 28 se pueden poner como suma de dos números primos (quiero todas las posibilidades cuando haya más de una). Entre los que lo hagáis sortearemos la magnífica taza de la imagen (me la trajo alguien de Texas pero ya ni recuerdo quién). El plazo termina el domingo 5 de noviembre a las 23:59.

Bueno, y si alguno se viene arriba y encuentra una demostración de la Conjetura de Golbach, que me lo diga y llamamos a la televisión. Además se va a llevar una pasta con la Medalla Fields o el Abel, los premios "Nobel" de las mates de los que os hablaré otro día.

Con todo mi cariño para vuestros padres

 Lo siento, no me he podido resistir. Decidles que cuentan con toda mi solidaridad:

Criptografía

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco):

HOLACOMOESTAS

le escribiríamos:

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (vamos, que se les llama bárbaros con razón), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano.

Reto: he utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado:

ÑAYTXMRTYMÑTAYBGPOPEEPDWACGPCGTTPDME

¿Qué dice el mensaje original? (En honor a Aarón, es una frase de Bob Esponja).

Pista: he trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual a la suma de las cuatro cifras de los dos números primos en los que se descompone 1517. 

Comentarios finales:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 1517 en sus factores primos os va a costar un par de minutos con la calculadora y una lista de números primos (que os sirva como pista, ¿hasta cuál deberíais comprobar?), 

pero hacer lo mismo con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡o eso se cree!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto (tenéis hasta el próximo martes 31 de octubre a las 23:59 para enviar vuestras respuestas) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes. Entre los ganadores sortearemos esta pochola lamparita con forma de reno (me la dio un amigo; espero que no lo conozcáis y se entere de que voy por ahí librándome de sus regalos).

¡Masacre!

He estado bromeando con el tema del "examen masacre" por dos motivos:

1) Para quitarle importancia al resultado de los exámenes. Es normal que, especialmente en matemáticas, un examen te pueda salir mal (a mí me pasó muchas veces -y os aseguro que se me daban bien-). No pasa nada, se ven los fallos, se repasa y se mejora.

2) Porque en los últimos años este examen me había salido bastante bien (bueno, a mis alumnos) y estaba convencido de que vosotros ibais a hacerlo fantásticamente.

Pues no. Ha salido flojísimo (en general). Quiero que le deis un repaso.

Control de potencias y raíces

Mi consejo es que le dediquéis veinte minutos y sea trabajo individual: sólo así será útil para vuestro progreso. El jueves lo recojo en clase.

Un reto durísimo

Os propongo un reto (como juego, un pasatiempo, sólo para aquellos a los que os gusten mucho las mates y queráis exprimir vuestro cerebro a niveles a los que, seguramente, todavía no está preparado).

Como profesor de matemáticas odio profundamente que en el instituto os enseñemos como reglitas, fórmulas, lo que en realidad son ideas que, cuando las entiendes, te hacen disfrutar (y decir, ¡naturalmente, claro, es lógico!).

Ahí va el reto:

1) Intentar entender la siguiente demostración del criterio de divisibilidad del 9.

Demostración del criterio del 9

2) Una vez hecho lo anterior, escribir una demostración de los criterios del 3 y el 11.

Si quienes lo intentéis queréis que os eche una mano, decídmelo. ¡Suerte!

Cero elevado a cero es...

¡Bravo Daniela!

Este reto no era fácil para vosotros porque hay que pillar un razonamiento de lógica que tiene su miga.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. Vamos a verlo con detalle. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no tiene sentido.

Y si me interesa que lo hayáis entendido, más me interesa lo que viene ahora.

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento (bachillerato de ciencias) y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. En ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

1º de ESO. Material del Tema 3. Divisibilidad

Para mi gusto, uno de los temas más bonitos del curso (y diría que de todas las mates que se ven en el instituto). Espero que a vosotros también os lo parezca. Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición y tareas básicas.

2) Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA).

3) Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD).

4) Alguna cosita extra.

Utilizaremos el siguiente material:

Propiedades básicas de la divisibilidad

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Modelo de examen (solución)